Naslovnica Vijesti Volim matematiku

Slučajne podudarnosti – mistične ili samo vjerojatne?

Jesu li takve podudarnosti stvarno toliko neobične? Nisu – samo većinom na njih ne obraćamo pažnju dok ih netko ne istakne
17. studenoga 2014. u 13:40 0 komentara 842 prikaza
Bojan Bogdanović
Foto: Marko Lukunić/PIXSELL

Prije nekoliko dana ljubitelji košarke mogli su u Večernjaku pročitati vijest: „Nakon što je ubacio 22 koša Orlandu za pobjedu svojih Brooklyn Netsa, Bojan Bogdanović odmah je skočio na listi najboljih rookie strijelaca. Nevjerojatno, prije točno 23 godine i Dražen Petrović je u jednakoj minutaži (31 minuta) također zabio 22 koša, također u dresu Netsa.“

Zasigurno su mnogi impresionirani ili začuđeni tom neobičnom koincidencijom. Većina će takvu koincidenciju smatrati jako nevjerojatnom. Upravo zato što slučajnosti opisanog tipa smatramo jako nevjerojatnim, mnogi će im pripisati mistična značenja. Najpoznatiji takav primjer je niz koincidencija između dvojice predsjednika SAD, Abrahama Lincolna i Johna F. Kennedyja. (1)

Jesu li takve podudarnosti stvarno toliko neobične? Nisu – samo većinom na njih ne obraćamo pažnju dok ih netko ne istakne. Istina je daleko od mistike: neobične su podudarnosti zapravo očekivana posljedica kombinacija slučajnih događaja. Vjerujemo da vam nije jasno što pisac hoće reći, ta ni samom piscu to isprva nije bilo jasno. Ali evo, pokušat ćemo.

Odaberite nasumično neki broj vama zanimljivih osoba na internetu i pogledajte im datume rođenja. Pretpostavljamo da smatrate da bi ih trebalo biti puno, bar recimo 183 (pola od broja dana u godini), da bi bilo vjerojatnije da dvoje imaju isti rođendanski datum nego da nemaju, ali istina je daleko od toga: čim uzmete bar 23 osobe vjerojatnost da dvoje imaju isti dan rođendan je preko 50 %! Recimo, uzmete li sve momčadi koje su sudjelovale na ovogodišnjem SP u nogometu (njih 32), u 16 ili 17 njih možete očekivati parove rođendana. (2)

Za skupinu od 30 ljudi ta je vjerojatnost oko 70 %, za 40 oko 90 %, a ako odaberete 60 ljudi možete već praktički biti sigurni (vjerojatnost 99 %) da je bar jedan rođendanski par među njima.

Sam račun koji potvrđuje da je 23 najmanji broj ljudi za koje je vjerojatnije da među njima ima dvoje s istim rođendanom nego ne nije pretežak – zahtijeva samo osnovno znanje vjerojatnosti razine srednje škole – ali izostavit ćemo ga; koga zanima, račun i druge zanimljivosti oko ovog „paradoksa rođendana“ može naći, primjerice, na Wikipediji.(3)

volim matematiku eksponati uzbudljiva avantura Jedinstvena interaktivna izložba Volim matematiku u Klovićevim dvorima sudoku ENIGMATSKA POSLASTICA Možda mislite da je sudoku japanskog porijekla, no varate se 11.06.2014., Zagreb - Matematicarka Franka Miriam Brückler koja tvrdi kako se uz pomoc matematike mogu predvidjeti nogometni rezultati. žena koja obožava brojke Ima u Brazilu jako puno matematike, neki na njoj temelje svoju igru

Onima kojima se ne sviđa račun preporučamo da se sami uvjere: kad god naiđete na bez posebnog plana (po pitanju rođendana) poslaganu skupinu ljudi od 23, 30, 40 ili 60 osoba, provjerite ima li neki par zajednički rođendan – u prvom slučaju ćete u oko pola slučajeva naići na takav, u drugom u više od dvije trećine, u trećem u otprilike 9 od 10 slučajeva, a u zadnjem u praktički svakom slučaju! (4)

Ono što smo htjeli reći prethodnim primjerom jest: podudarnosti su puno češće nego što mislimo. Uzmemo li tako popis svih dosadašnjih predsjednika SAD – njih 44 – naći ćemo da doduše „samo“ dva dijele rođendan (Polk i Harding: rođeni 2. studenoga), a čak dva para i jedna trojka (unutar 39 mrtvih predsjednika) dijele smrtni dan (Fillmore i Taft: umrli 8. ožujka; Adams, Jefferson i Monroe: umrli 4. srpnja; (5) Truman i Ford: umrli 26. prosinca). Vratimo se na Lincolna i Kennedyja. Ovo prethodno vas je trebalo uvjeriti da podudarnosti nisu tako rijetke, no opet može – čini se – stajati prigovor: dobro, da je jedna, dvije, u redu, ali za njih dvoje je podudarnosti jako puno. Kao prvo, jest, ima ih dosta, ali ako usporedimo puno više drugih podataka (ima ih na tisuće) – rođendani, države rođenja, godine u trenutku smrti, imena supruga, ... – vidjet ćemo da se u njima razlikuju .(6)

Štoviše, uvijek je moguće kombinirati slučajne podatke i nalaziti neobične podudarnosti. Primjerice, danas se zna puno – stotine milijuna – decimala znamenite matematičke konstante π (o kojoj više možete saznati, primjerice, na izložbi „Volim matematiku“ u Klovićevim dvorima). Zna se da su slučajne, tj. da nema predvidljivog uzorka u njima. To znači da ako bismo ih podijelili na parne i neparne, onda bi njihov redoslijed mogao opisivati rezultate bacanja novčića – recimo, parna znamenka predstavlja „glavu“, a neparna „pismo“. I stvarno, uzmemo li recimo 100 decimala od π

π ≈ 3, 14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899 86280348253421170679

otprilike pola-pola (točnije 49-51) su neparne (crveno) i parne (crno). No, to što su slučajne ne znači da u toj sekvenci nema nekih „neobičnih“ stvari, primjerice sekvenca od 10 uzastopnih „glava“ (crnih znamenki), 8 „pisama“ zaredom (crvenih znamenki) ili niz od 8 naizmjeničnih „pisama“ i „glava“. Slobodno pogledajte i sami – u svijetu slučajnosti vrijedi „tko traži, naći će“: ako uzmete dovoljno dug niz podataka (ili podatke iz života dvoje ljudi s razumnom količinom događaja u njihovim životima) i potrudite se, sigurno ćete naći neke „neočekivane“ podudarnosti.

Nadamo se da smo vas bar donekle uvjerili: u karijerama dvojice hrvatskih košarkaša – recimo, Bogdanovića i Petrovića – vrlo vjerojatno će se uz malo truda pronaći neke zanimljive podudarnosti, čak i više njih nego u na početku spomenutoj vijesti. Želite li saznati više na ovu temu, preporučamo (ne sasvim jednostavan) tekst http://www.csicop.org/si/show/coincidences_remarkable_or_random/, a svima koji su ostali sumnjičavi dajemo dva pitanja za razmišljanje: Zar vam se stvarno još nikad nije put desilo da na nekom tulumu ili poslovnom sastanku upoznate osobu s kojom dijelite neke neočekivane podudarnosti? I: iako znate da je jako mala vjerojatnost dobitka jackpota na lotu, zar takvi dobici nisu dosta česti?

Fusnote

(1) Podudarnosti su:

oba su izabrani u Zastupnički dom godine '46. (Lincoln 1846., Kennedy 1946.);

oba su izabrani za predsjednika '60. godine (Lincoln 1860., Kennedy 1960.), kad su obojica pobijedili trenutnog podpredsjednika;

obojici su njihovi prethodnici u predsjedničkoj dužnosti otišli u mirovinu u svojim sedamdesetim godinama i povukli se živjeti u Penssylvaniju;

oboma su potpredsjednici bili rođeni godine '08., imali prezimena Johnson i jednako duga imena (Andrew odnosno Lyndon) i naslijedili ih na dužnosti; oba Johnsona naslijedili su '69. republikanci kojima su se majke zvale Hannah;

oba su se predsjednika bavili problemima crnačkog stanovništva i iskazali svoje stavove godine '63. (ozakonjenje Proklamacije emancipacije 1863., odnosno izvještaj u građanskim pravima 1963.);

oba su ubijeni hicem u potiljak, nakon kojeg su živjeli još 3 sata, u petak u prisustvu supruge i još jednog para čiji je muški član pri atentatu ozlijeđen;

oboma je umro jedan sin dok su bili predsjednici;

ubojice obojice su imali tročlana imena s ukupno 15 slova;

Lincoln je ubijen u Fordovom kazalištu, a Kennedy u automobilu kojeg je proizvela kompanija Ford;

Lincoln je imao tajnika prezimena Kennedy koji mu je rekao da ne ide u kazalište, a Kennedy je imao tajnicu prezimena Lincoln koja ga je upozorila da ne ide u Dallas;

oba prezimena imaju 7 slova;

ubojica Lincolna je nakon ubojstva pobjegao iz kazališta u skladište, a ubojica Kennedyja iz skladišta u kazalište;

oba ubojice su bili bijelci, južnjaci rođeni krajem 30-ih godina, oba su ubijeni prije nego im je suđeno i to u istom mjesecu kao njihove žrtve u državi susjednoj države svojeg rođenja, a ubili su ih ljudi odrasli na sjeveru SAD koji su kao odrasli promijenili svoja imena i bili neženje.

(2) Ako vam se ne da prekopavati podatke: u točno 16 od 32 momčadi bilo je parova rođendana, od čega u 5 čak po dva para zajedničkih rođendana. O ovome je pisao i BBC News: http://www.bbc.com/news/magazine-27835311

(3) Oprez: podjednako lagan račun pokazuje da je vjerojatnost da netko ima rođendan na određeni datum – recimo, kad i vi – veća od 50 % tek ako skupite 253 osobe. Vjerojatnosti da netko (ili više njih) ima točno određeni rođendan su puno manje od onih da bar dvoje, troje, ... imaju bilo koji zajednički rođendan.

(4) Kao zanimljivost navodimo i da je u skupini od 88 ljudi vjerojatnije da postoji troje ljudi s istim rođendanom nego da ne, a ako imate bar 46 ljudi na okupu vjerojatnost da ćete naći bar dva dupla rođendana je također veća od 50 %.

(5) Radi se o tri rana predsjednika

(6) Godine 1992. časopis „Skeptical Inquirer“ raspisao je natječaj za nalaženje podudarnosti među parovima predsjednika. Od dvoje pobjednika, jedan je našao 16 podudarnosti između Kennedyja i bivšeg meksičkog predsjednika Alvara Obregóna, a drugi je našao podudarnosti u 21 različitom paru predsjednika SAD.

 

Iskusi adventsku Hrvatsku
DOŽIVLJAJ NA DAR
Iskusi adventsku Hrvatsku: Donosimo kompletan vodič kroz dobru zabavu

A1 izdvaja za Vas

Napišite prvi komentar!

Za komentiranje je potrebna prijava/registracija. Ako nemate korisnički račun, izaberite jedan od dva ponuđena načina i registrirajte se u par brzih koraka.