Rođen je 7. ožujka 1947. kao peto dijete u obitelji Ivana i Ane rođene Raguž u mjestu Kamena, župa Blagaj kod Mostara. Osnovnu školu započeo je u Blagaju i Mostaru a završio u Požegi gdje su mu se roditelji preselili. Klasičnu gimnaziju pohađao je u sjemeništu u Dubrovniku od 1962. do 1966. Nakon mature upisao je studij teologije u Splitu 1966. a nastavio u Rimu 1970. Tamo je zaređen za svećenika 24. ožujka 1974.
Na Lateranskom sveučilištu u Rimu magistrirao je iz pastoralne teologije 1978. Usporedo s teologijom završio je i fakultet Odgojnih znanosti na Salezijanskom sveučilištu u Rimu gdje je doktorirao iz psihologije 1980. Na Katoličkoj bogosloviji u Sarajevu od 1978. do 1989. vrši službu prefekta studenata i predaje mariologiju.
Papa Ivan Pavao II. Imenovao ga je dubrovačkim biskupom 7. prosinca 1989., upravu dijeceze preuzima nakon ređenja 14. siječnja 1990. Zaredio ga je kardinal Franjo Kuharić. Na toj dužnosti ostao je punih 20 godina.
Obnašao je brojne dužnosti pri Hrvatskoj biskupskoj konferenciji, te je, među ostalim, bio član Komisije za uređenje odnosa s državom od 1996. do 2002. Bio je predsjednik Vijeća HBK i Biskupske konferencije BiH za inozemnu pasvu te predsjednik Vijeća HBK za kulturu i crkvena kulturna dobra. Od 1995. član je Europske akademije znanosti i umjetnosti, bio je član Upravnog vijeća Sveučilišta u Zagrebu od 1993. do 1995. te član Savjeta Sveučilišta u Dubrovniku od 2005. do 2009.
Papa Benedikt XVI. imenovao ga je 15. ožujka 2010. 69. zadarskim nadbiskupom. Na zasjedanju HBK 14. studenoga 2012. izabran je za predsjednika Hrvatske biskupske konferencije. Sklon je dijalogu i kompromisima, ali ne odstupa od čvrstih stajališta kada drži da se dovode u pitanje temeljna prava vjernika i vrijednosti koje zastupa Katolička crkva.
Pod njegovim vodstvo HBK je zatražio objašnjenje i ispriku od predsjednika Vlade Zorana Milanovića zbog njegove izjave kojom je uz HDZ i Crkvu optužio da je 20 godina skrivala one koji su počinili zločine. U vezi s uvođenjem zdravstvenog odgoja u škole, što je izazvalo veliku buru u javnosti, nadbiskup Puljić kazao je kako Crkva načelno podupire zdravstveni odgoj ali ne i sporni četvrti modul o spolnom odgoju te se zauzeo za dogovor nadležnih komisija i prestanak prepirke preko medija o tom pitanju.
Objavio je brojne članke i studije u hrvatskim časopisima. Uredio je i objavio, među ostalim, knjige: Josip Stadler (1989.), Kršćanstvo srednjovjekovne Bosne (1991.), Vatikan i Dubrovnik (1994.) te 1000 godina dubrovačke nadbiskupije (2000.).